INGENEGROS

Destinado a quienes emprenden el estudio sistemático del curso de matemáticas superiores técnicas. Comprende un gran número de ejercicios resueltos y comentados para ilustrar el enunciado del material teórico y presentar ejemplos tipo de resolución de ejercicios.

Piskunov, N.
Resumen
CONTENIDO: Numero, variable, funcion.- Limite y continuidad de las funciones.- Derivada y diferencial.- Teoremas sobre las funciones derivables.- Analisis de la variacion de las funciones.- Curvatura de una curva.- Numeros complejos; polinomios.- Funciones de varias variables.- Aplicaciones del Calculo diferencial a la geometria del espacio.- Integral indefinida.- Integral definida.- Aplicaciones geometricas y mecanicas de la integral definida.- Ecuaciones diferenciales.- Integrales curvilineas e integrales de superficie.- Series.- Series de Fourier.- Aplicaciones fisicas.- Calculo operacional y algunas de sus aplicaciones.

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - PISKUNOV

PRIMER VOLUMEN
Tabla de contenidos
Capítulo I. NÚMERO. VARIABLE. FUNCIÓN
§ 1. Números reales. Representación de números reales por los puntos del eje numérico
§ 2. Valor absoluto de un número real
§ 3. Magnitudes variables y constantes
§ 4. Dominio de definición de una variable
§ 5. Variable ordenada. Variables crecientes y decrecientes. Variable acotada
§ 6. Función
§ 7. Formas diversas de expresión de funciones
§ 8. Funciones elementales principales. Funciones elementales
§ 9. Funciones algebraicas

Capítulo II. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES

§ 1. Límite de una variable. Variable infinitamente grande
§ 2. Límite de una función
§ 3. Función que tiende a infinito. Funciones acotadas
§ 4. Infinitésimos y sus propiedades fundamentales
§ 5. Teoremas fundamentales sobre límites
§ 6. Límite de la función sen x /x cuando x = 0
§ 7. El numero e
§ 8. Logaritmos naturales
§ 9. Continuidad de las funciones
§ 10. Propiedades de las funciones continuas
§ 11. Comparación de infinitésimos

Capítulo III. DERIVADA Y DIFERENCIAL

§ 1. Velocidad del movimiento
§ 2. Definición de la derivada
§ 3. Interpretación geométrica de la derivada
§ 4. Funciones derivables
§ 5. Cálculo de la derivada de las funciones elementales. Derivada de la función y = X", siendo n entero y positivo
§ 6. Derivadas de las funciones y = sen x; y = cos x
§ 7. Derivada de una constante, del producto de una constante por una función, de la suma del producto y cociente de dos funciones
§ 8. Derivada de la función logarítmica
§ 9. Derivada de una función compuesta
§ 10. Derivadas de las funciones y = tg x, y = ctg x, y = In x
§ 11. La función implícita y su derivada
§ 12. Derivadas de la función potencial con exponente real cualquiera, de la función exponencial y de la función exponencial compuesta
§ 13. Función inversa y su derivación
§ 14. Funciones trigonométricas y sus derivadas
§ 15. Tabla de las principales fórmulas de derivación
§ 16. Funciones dadas en forma paramétrica
§ 17. Ecuaciones paramétricas de algunas curvas
§ 18. Derivada de una función dada paramétricamente
§ 19. Funciones hiperbólicas
§ 20. Diferencial
§ 21. Significado geométrico de la diferencial
§ 22. Derivadas de diversos órdenes
§ 23. Diferenciales de órdenes diversos
§ 24. Derivadas de diversos órdenes de las funciones implícitas y de las funciones definidas paramétricamente
§ 25. Interpretación mecánica de la derivada segunda
§ 26. Ecuaciones de la tangente y de la normal. Longitudes de la subtangente y de la subnormal
§ 27. Significado geométrico de la derivada del radio vector respecto al ángulo polar

Capítulo IV. TEOREMAS SOBRE LAS FUNCIONES DERIVABLES

§ 1. Teorema sobre las raíces de la derivada (teorema de Rolle)
§ 2. Teorema de los incrementos finitos (teorema de Lagrange)
§ 3. Teorema sobre el cociente de los incrementos de dos funciones (teorema de Cauchy)
§ 4. Límite del cociente de dos infinitésimos (Cálculo del límite de indeterminaciones del tipo 0 /0)
§ 5. Límite del cociente de dos magnitudes infinitamente grandes (Cálculo del límite de indeterminaciones de la forma Infinito/Infinito)
§ 6. Fórmulas de Taylor
§ 7. Desarrollo de las funciones ex sen x y cos x mediante la fórmula de Taylor

Capítulo V. ANÁLISIS DE LA VARIACIÓN DE LAS FUNCIONES

§ 1. Generalidades
§ 2. Crecimiento y decrecimiento de una función
§ 3. Máximo y mínimo de las funciones
§ 4. Análisis del máximo y mínimo de una función derivable mediante la primera derivada
§ 5. Análisis del máximo y mínimo de una función mediante la segunda derivada
§ 6. Valores máximo y mínimo de una función en un intervalo
§ 7. Aplicaciones a la teoría de máximos y mínimos de las funciones
§ 8. Análisis de los valores máximos y mínimos de una función mediante la fórmula de Taylor
§ 9. Convexidad y concavidad de las curvas. Puntos de inflexión
§ 10. Asíntotas
§ 11. Esquema general del análisis de funciones y de la construcción de gráficas
§ 12. Estudio de las curvas dadas en forma paramétrica

Capítulo VI. CURVATURA DE UNA CURVA

§ 1. Longitud del arco y su derivada
§ 2. Curvatura
§ 3. Cálculo de la curvatura
§ 4. Cálculo de la curvatura de una curva dada en forma paramétrica
§ 5. Cálculo de la curvatura de una curva dada en coordenadas polares
§ 6. Radio y círculo de curvatura. Centro de curvatura. Evoluta y evolvente
§ 7. Propiedades de la evoluta
§ 8. Cálculo aproximado de las raíces reales de una ecuación

Capítulo VII. NÚMEROS COMPLEJOS. POLINOMIOS

§ 1. Números complejos. Generalidades
§ 2. Operaciones fundamentales con números complejos
§ 3. Elevación a una potencia y extracción de la raíz de un número complejo
§ 4. Función exponencial de exponente complejo y sus propiedades
§ 5. Fórmula de Euler. Forma exponencial de un número complejo
§ 6. Descomposición de un polinomio en factores
§ 7. Raíces múltiples de un polinomio
§ 8. Descomposición en factores de un polinomio con raíces complejas
§ 9. Interpolación. Fórmula de interpolación de Lagrange
§ 10. Fórmula de interpolación de Newton
§ 11. Derivación numérica
§ 12. Aproximación de las funciones mediante polinomios. Teoría de Chébishev

Capítulo VIII. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

§ 1. Definición de las funciones de varias variables
§ 2. Representación geométrica de una función de dos variables
§ 3. Incremento parcial y total de la función
§ 4. Continuidad de las funciones de varias variables
§ 5. Derivadas parciales de la función de varias variables
§ 6. Interpretación geométrica de las derivadas parciales de una función de dos variables
§ 7. Incremento total y diferencial total
§ 8. Aplicación de la diferencial total a cálculos aproximados
§ 9. Aplicación de la diferencial a la evaluación del error en cálculos numéricos
§ 10. Derivada de una función compuesta. Derivada total
§ 11. Derivación de funciones implícitas
§ 12. Derivadas parciales de órdenes superiores
§ 13. Superficies y líneas de nivel
§ 14. Derivadas según una dirección
§ 15. Gradiente
§ 16. Fórmula de Tavlor correspondiente a una función de dos variables
§ 17. Máximos y mínimos de una función de varias variables
§ 18. Máximos y mínimos de una función de varias variables relacicionadas mediante ecuaciones dadas (máximos y mínimos ligados)
§ 19. Ajuste de una función a unos datos experimentales por el método de mínimos cuadrados

Capítulo IX. APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL A LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO

§ 1. Ecuaciones de una curva en el espacio
§ 2. Límite y derivada de una función vectorial de una variable independiente escalar. Ecuación de la tangente a una curva. Ecuación del plano normal
§ 3. Reglas de derivación de los vectores (funciones vectoriales)
§ 4. Derivadas primera y segunda de un vector respecto a la longitud del arco. Curvatura de la curva. Norma principal. Velocidad y aceleración de un punto animado de un movimiento curvilíneo
§ 5. Plano osculador. Binormal. Torsión
§ 6. Plano tangente y normal a una superficie

Capítulo X. INTEGRAL INDEFINIDA

§ 1. Función primitiva e integral indefinida
§ 2. Tabla de integrales
§ 3. Propiedades de la integral indefinida
§ 4. Integración por cambio de variable o por sustitución
§ 5. Integración de ciertas funciones que contienen un trinomio de segundo grado
§ 6. Integración por partes
§ 7. Funciones racionales. Fracciones racionales elementales y su integración
§ 8. Descomposición de una fracción racional en fracciones simples
§ 9. Integración de las fracciones racionales
§ 10. Método de Ostrogradski
§ 11. Integración de funciones irracionales
§ 12. Integrales del tipo R (x, sqrt [ax{exp 2} + bx + c])dx
§ 13. Integración de las integrales binomias
§ 14. Integración de funciones trigonométricas
§ 15. Integración de funciones irracionales mediante sustituciones trigonométricas
§ 16. Funciones cuyas integrales no pueden expresarse mediante funciones elementales

Capítulo XI. INTEGRAL DEFINIDA

§ 1. Planteamiento del problema. Sumas inferior y superior
§ 2. Integral definida
§ 3. Propiedades fundamentales de la integral definida
§ 4. Cálculo de la integral definida. Fórmula de Newton-Leibniz
§ 5. Cambio de variable en una integral definida
§ 6. Integración por partes
§ 7. Integrales impropias
§ 8. Cálculo aproximado de las integrales definidas
§ 9. Fórmula de Chébishev
§ 10. Integrales dependientes de un parámetro
§ 11. Integración de una función compleja de variable real

Capítulo XII. APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y MECÁNICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA

§ 1. Cálculo de áreas en coordenadas rectangulares
§ 2. Área de un sector curvilíneo en coordenadas polares
§ 3. Longitud de un arco de curva
§ 4. Cálculo del volumen de un cuerpo en función de las áreas de secciones paralelas
§ 5. Volumen de un cuerpo de revolución
§ 6. Área de un cuerpo de revolución
§ 7. Cálculo del trabajo mediante la integral definida
§ 8. Coordenadas del centro de gravedad
§ 9. Cálculo de momentos de inercia mediante la integral definida

SEGUNDO VOLUMEN
Tabla de contenidos
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - PISKUNOV

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL – PISKUNOV

SEGUNDO VOLUMEN

Capítulo XIII. ECUACIONES DIFERENCIALES

§ 1. Planteamiento del problema
§ 2. Definiciones
§ 3. Ecuaciones diferenciales de primer orden (generalidades)
§ 4. Ecuaciones de variables separadas y separables
§ 5. Ecuaciones homogéneas de primer orden
§ 6. Ecuaciones que se reducen a ecuaciones homogéneas
§ 7. Ecuaciones lineales de primer orden
§ 8. Ecuación de Bernoulli
§ 9. Ecuaciones en diferenciales totales
§ 10. Factor integrante
§ 11. Envolvente de una familia de curvas
§ 12. Soluciones singulares de las ecuaciones diferenciales de primer orden
§ 13. Ecuación de Clairaut
§ 14. Ecuación de Lagrange
5 15. Trayectorias ortogonales e isogonales
§ 16. Ecuaciones diferenciales de orden superior a uno (generalidades)
§ 17. Ecuación de la forma y (exp n) = f(x)
§ 18. Algunos tipos de ecuaciones diferenciales de segundo orden que se reducen a ecuaciones de primer orden
§ 19. Método gráfico de integración de las ecuaciones diferenciales de segundo orden
§ 20. Ecuaciones lineales homogéneas. Definiciones y propiedades generales
§ 21. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes
§ 22. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de n-simo orden con coeficientes constantes
§ 23. Ecuaciones diferenciales no homogéneas de segundo orden
§ 24. Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes
§ 25. Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de orden n
§ 26. Ecuación diferencial de las oscilaciones mecánicas
§ 27. Oscilaciones libres
§ 28. Oscilaciones forzadas
§ 29. Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
§ 30. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes
§ 31. Nociones sobre la teoría de la estabilidad de Liapunov
§ 32. Solución aproximada de las ecuaciones diferenciales de primer orden por el método de Euler
§ 33. Solución aproximada de las ecuaciones diferenciales por el método de las diferencias, basado en el empleo de la fórmula de Tavlor. Método de Adams
§ 34. Método aproximado de integración de los sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden


Capítulo XIV. INTEGRALES MÚLTIPLES

§ 1. Integral doble
§ 2. Calculo de la integral doble
§ 3. Cálculo de la integral doble (continuación)
§ 4. Cálculo de áreas y volúmenes mediante integrales dobles
§ 5. Integrales dobles en coordenadas polares
§ 6. Cambio de variables en una integral doble (caso general)
§ 7. Cálculo de áreas de superficies
§ 8. Densidad de distribución de la materia e integral doble
§ 9. Momento de inercia de una figura plana
§ 10. Coordenadas del centro de gravedad de una figura plana
§ 11. Integral triple
§ 12. Cálculo de integrales triples
§ 13. Cambio de variables en una integral triple
§ 14. Momento de inercia y coordenadas del centro de gravedad de un cuerpo
§ 15. Cálculo de las integrales dependientes de un parámetro

Capítulo XV. INTEGRALES CURVILÍNEAS E INTEGRALES DE SUPERFICIE

§ 1. Integral curvilínea
§ 2. Cálculo de la integral curvilínea
§ 3. Fórmula de Green
§ 4. Condiciones para que una integral curvilínea no dependa del camino de integración
§ 5. Integral de superficie
§ 6. Cálculo de la integral de superficie
§ 7. Fórmula de Stokes
§ 8. Fórmula de Ostrogradski
§ 9. Operador de Hamilton y algunas de sus aplicaciones

Capítulo XVI. SERIES

§ 1. Serie. Suma de una serie
§ 2. Condición necesaria de convergencia de una serie
§ 3. Comparación de series de términos positivos
§ 4. Criterio de d'Alembert
§ 5. Criterio de Cauchy
§ 6. Criterio integral de convergencia
§ 7. Series alternadas. Teorema de Leibniz
§ 8. Series de términos positivos y negativos. Convergencia absoluta y condicional
§ 9. Series de funciones
§ 10. Series mayorables
§ 11. Continuidad de la suma de una serie
§ 12. Integración y derivación de las series
§ 13. Series de potencias. Intervalo de convergencia
§ 14. Derivación de las series de potencias
§ 15. Series de potencias de x — a
§ 16. Series de Taylor y de Maclaurin
§ 17. Ejemplos de desarrollo de funciones en series
§ 18. Fórmula de Euler
§ 19. Serie binomial
§ 20. Desarrollo de la función ln (1 + x) en serie de potencias. Cálculo de logaritmos
§ 21. Aplicación de las series al cálculo de integrales definidas
§ 22. Aplicación de las series a la integración de ecuaciones diferenciales
§ 23. Ecuación de Bessel

Capítulo XVII. SERIES DE FOURIER

§ 1. Definición. Planteamiento del problema
§ 2. Ejemplos de desarrollo de funciones en serie de Fourier
§ 3. Una observación sobre el desarrollo de funciones periódicas en serie de Fourier
§ 4. Series de Fourier de funciones pares e impares
§ 5. Serie de Fourier de funciones de período 2 l
§ 6. Desarrollo de una función no periódica en serie de Fourier
§ 7. Aproximación en media de una función dada mediante polinomios trigonométricos
§ 8. Integral de Dirichlet
§ 9. Convergencia de una serie de Fourier en un punto dado
§ 10. Algunas condiciones suficientes para la convergencia de una serie de Fourier
§ 11. Análisis armónico numérico
§ 12. Integral de Fourier
§ 13. Integral de Fourier en forma compleja

Capítulo XVIII. APLICACIONES FÍSICAS

§ 1. Tipos fundamentales de ecuaciones de la física matemática
§ 2. Ecuación de las oscilaciones de una cuerda
§ 3. Solución de la ecuación de vibraciones de una cuerda por el método de separación de las variables (método de Fourier)
§ 4. Ecuación de difusión del calor de un vástago. Planteamiento del problema con condiciones de contorno
§ 5. Difusión del calor en el espacio
§ 6. Solución del primer problema de contorno para la ecuación de conducción del calor por el método de diferencias finitas
§ 7. Difusión del calor en un vástago ilimitado
§ 8. Problemas que conducen a la búsqueda de las soluciones de la ecuación de Laplace. Planteamiento de los problemas de contorno
§ 9. Ecuación de Laplace en coordenadas cilindricas. Solución del problema de Dirichlet para un anillo circular con valores constantes de la función desconocida en las circunferencias interna y externa
§ 10. Solución del problema de Dirichlet para un círculo
§ 11. Solución del problema de Dirichlet por el método de diferencias finitas

Capítulo XIX. CÁLCULO OPERACIÓN AL Y ALGUNAS DE SUS APLICACIONES

§ 1. Función inicial y su transformación
§ 2. Transformadas de las funciones sigma{sub 0} , sen t, cos t
§ 3. Transformada de la función con escala modificada de la variable independiente
§ 4. Propiedad de linealidad de la transformada
§ 5. Teorema del desplazamiento
§ 6. Transformadas de las funciones e{exp (alfa t)} Sh {alfa t}, Ch exp {alfa t)} cos at
§ 7. Derivación de la transformada
§ 8. Recurrencia entre las derivadas
§ 9. Tabla de transformadas
§ 10. Aplicación de la transformada de Laplace a la resolución de una ecuación diferencial dada
§ 11. Transformadas de fracciones racionales
§ 12. Ejemplos de solución de ecuaciones diferenciales y sistemas de ecuaciones diferenciales por el método operacional
§ 13. Teorema del plegamiento
§ 14. Ecuaciones diferenciales de las oscilaciones mecánicas y ecuaciones diferenciales de la teoría de circuitos eléctricos
§ 15. Solución de la ecuación diferencial de las oscilaciones
§ 16. Estudio de las oscilaciones libres
§ 17. Estudio de las oscilaciones mecánicas y eléctricas en caso de aplicación de una fuerza exteror periódica
§ 18. Solución de la ecuación de las osiclaciones en el caso de resonancia
§ 19. Teorema del retardo

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